Question

15．【閱讀理解】當a＞0，b＞0時，a=（$\sqrt{a}$）²，b=（$\sqrt{b}$）²則（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）²=（$\sqrt{a}$）²-2$\sqrt{ab}$+（$\sqrt{b}$）²=a+b-2$\sqrt{ab}$≥0，那么$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$，因此對任意兩個正數a，b，即a＞0，b＞0，則有下面的不等式；$\frac{a+b}{2}$$≥\sqrt{ab}$，當且僅當a=b時取等號，我們把$\frac{a+b}{2}$叫做正數a，b的算術平均數，把$\sqrt{ab}$叫做正數a，b的幾何平均數，于是上述的不等式可以表述為：兩個正數的算術平均數不小于（即大于或等于）他們的幾何平均數，它在數學中有廣泛的應用，是解決最大（小）值問題的有力工具．
【實例剖析】已知x＞0，求式子y=x+$\frac{4}{x}$的最小值．
解：令a=x，b=$\frac{4}{x}$，則由$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$，得y=x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=2×$\sqrt{4}$=4，當且僅當x=$\frac{4}{x}$時，即x=2時，式子的最小值，最小值為4．
【學以致用】根據上面的閱讀材料回答下列問題：
（1）已知x＞0，則當x為$\frac{\sqrt{6}}{2}$時，式子y=2x+$\frac{3}{x}$取到最小值，最小值是2$\sqrt{6}$．
（2）用籬笆圍一個面積為64m²的矩形花園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用的籬笆最短，最短是多少米？
（3）已知x＞0，則當x取何值時，式子y=$\frac{x}{{x}^{2}-2x+9}$取到最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）根據兩個正數的算術平均數不小于（即大于或等于）他們的幾何平均數，可知y=2x+$\frac{3}{x}$≥2•$\sqrt{2x•\frac{3}{x}}$，即y≥2$\sqrt{6}$，當且僅當2x=$\frac{3}{x}$時，即x=$\frac{\sqrt{6}}{2}$時，y取得最小值，最小值為2$\sqrt{6}$．
（2）這個矩形的長、寬分別為xm，ym．由題意xy=64，因為x＞0，y＞0，所以x+y≥2$\sqrt{xy}$，即x+y≥16，當且僅當x=y=8時，x+y取得最小值．
（3））因為x＞0，所以y=$\frac{x}{{x}^{2}-2x+9}$=$\frac{1}{x+\frac{9}{x}-2}$，可知x+$\frac{9}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{9}{x}}$，即x+$\frac{9}{x}$≥6，當且僅當x=$\frac{9}{x}$時，即x=3時，x+$\frac{9}{x}$取得最小值，最小值為6，由此即可解決問題．

解答 解：（1）∵x＞0，
∴y=2x+$\frac{3}{x}$≥2•$\sqrt{2x•\frac{3}{x}}$，即y≥2$\sqrt{6}$，
當且僅當2x=$\frac{3}{x}$時，即x=$\frac{\sqrt{6}}{2}$時，y取得最小值，最小值為2$\sqrt{6}$，
故答案為$\frac{\sqrt{6}}{2}$，2$\sqrt{6}$．

（2）這個矩形的長、寬分別為xm，ym．由題意xy=64，
∵x＞0，y＞0，
∴x+y≥2$\sqrt{xy}$，即x+y≥16，
∴當且僅當x=y=8時，x+y取得最小值，
∴矩形的長、寬都等于8m時，所用的籬笆最短，最短是32m．

（3）∵x＞0，
∴y=$\frac{x}{{x}^{2}-2x+9}$=$\frac{1}{x+\frac{9}{x}-2}$，
∵x+$\frac{9}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{9}{x}}$，即x+$\frac{9}{x}$≥6，
當且僅當x=$\frac{9}{x}$時，即x=3時，x+$\frac{9}{x}$取得最小值，最小值為6，
∴x=3時，y=$\frac{x}{{x}^{2}-2x+9}$=$\frac{1}{x+\frac{9}{x}-2}$取得最大值為$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查兩個正數的算術平均數不小于（即大于或等于）他們的幾何平均數、考查學生的閱讀理解能力，動手模仿能力，解題的關鍵是理解題意，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．