Question

16．如圖，ABCD是正方形，G是BC延長線上一點，AG交BD于E，交CD于F，求證：CE與△CFG的外接圓相切．
點撥：此題圖上沒有畫出△CFG的外接圓，但△CFG是直角三角形，圓心在斜邊FG的中點，為此我們取FG的中點O，連結OC，證明CE⊥OC即可得解．

Answer 1

分析 取FG的中點O，連結OC，證明△ADE≌△CDE，得到∠DAE=∠DCE，根據平行線的性質得到∠DAE=∠G，得到∠G=∠DCE，根據直角三角形的性質得到∠OCE=90°，根據切線的判定定理證明結論．

解答 證明：取FG的中點O，連結OC，
∵四邊形ABCD是矩正方形，
∴AD=DC，∠ADB=∠CDB，
在△ADE和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDE}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDE，
∴∠DAE=∠DCE，
∵AD∥BG，
∴∠DAE=∠G，
∴∠G=∠DCE
∵O為FG的中點，
∴OF=OC，
∴∠OFC=∠OCF，
∵∠G+∠OFC=90°，
∴∠DCE+∠OCF=90°，即∠OCE=90°，
∴CE與△CFG的外接圓相切．

點評 本題考查的是圓的切線的判定、正方形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、直角三角形的性質，掌握圓的切線的判定定理、直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半是解題的關鍵．