Question

14．如圖1，在△ABC中，tan∠A=$\frac{1}{2}$，∠B=45°，垂直于AB的直線與折線A-C-B相交于點E，垂足為點F，設AF=x，△AEF的面積為y，y與x之間的函數圖象如圖2，則當y=8時，x的值是4$\sqrt{2}$或6+2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 當點E在AC上時，根據已知條件得到EF=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{1}{2}$x，根據三角形的面積公式列方程即可得到結論；如圖1，過C作CG⊥AB于G，由如圖2知，當E與C，F與G重合時，△AEF的面積最大，此時，x=8，y=16，求得AG=8，CG=4，得到AB=12，當點E在BC上時，根據三角形的面積公式即可得到結論．

解答 解：當點E在AC上時，
∵EF⊥AB，tan∠A=$\frac{1}{2}$，
∴EF=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{1}{2}$x，
∴y=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$x•x=$\frac{1}{4}$x²，
∴y=8時，即$\frac{1}{4}$x²=8，
解得x=4$\sqrt{2}$（負值舍去），
如圖1，過C作CG⊥AB于G，
由如圖2知，當E與C，F與G重合時，
△AEF的面積最大，此時，x=8，y=16，
即AG=8，CG=4，
∵∠B=45°，
∴BG=CG=4，
∴AB=12，
當點E在BC上時，
y=$\frac{1}{2}$•x•（12-x）=-$\frac{1}{2}$x²+6x，
∴y=8時，即-$\frac{1}{2}$x²+6x=8，
解得x=6+2$\sqrt{5}$（負值舍去），
∴當y=8時，x的值是4$\sqrt{2}$或6+2$\sqrt{5}$，
故答案為：4$\sqrt{2}$或6+2$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了動點問題的函數圖象，三角形的面積的計算，函數與圖形的性質，掌握的識別圖象是解題的關鍵．