Question

5．在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，A、B、C三點的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，0）、（3$\sqrt{3}$，0）、（0，5），點D在第一象限，且∠ADB=60°，則線段CD的長的最小值為2$\sqrt{7}$-2．

Answer 1

分析 作圓，求出半徑和PC的長度，判出點D只有在CP上時CD最短，CD=CP-DP求解．

解答 解：作圓，使∠ADB=60°，設(shè)圓心為P，連結(jié)PA、PB、PC，PE⊥AB于E，如圖所示：
∵A（$\sqrt{3}$，0）、B（3$\sqrt{3}$，0），
∴E（2$\sqrt{3}$，0）
又∠ADB=60°，
∴∠APB=120°，
∴PE=1，PA=2PE=2，
∴P（2$\sqrt{3}$，1），
∵C（0，5），
∴PC=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+（5-1）^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
又∵PD=PA=2，
∴只有點D在線段PC上時，CD最短（點D在別的位置時構(gòu)成△CDP）
∴CD最小值為：2$\sqrt{7}$-2．
故答案為：2$\sqrt{7}$-2．

點評 本題主要考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，圓周角定理及勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是判出點D只有在CP上時CD最短．