Question

13．拋物線y=-$\sqrt{3}$x²+bx+c經(jīng)過點O（0，0），A（4，4$\sqrt{3}$），與x軸的另一交點為點B，且拋物線的對稱軸與線段OA交于點P．
（1）求拋物線的解析式．
（2）連結AB，求AB的長和點P的坐標．
（3）過點P作x軸的平行線l，若點Q是直線l上的動點，連結QB．
①若點O關于直線BQ的對稱點為點C，當點C恰好在直線l上時，求點Q的坐標；
②若點O關于直線BQ的對稱點為點D，當線段AD的長最短時，求點Q的坐標．（直接答案即可）

Answer 1

分析 （1）把O（0，0），A（4，4$\sqrt{3}$）的坐標代入y=-$\sqrt{3}$x²+bx+c，轉化為解方程組即可．
（2）先求出直線OA的解析式，點B坐標，拋物線的對稱軸即可解決問題．
（3）①如圖1中，點O關于直線BQ的對稱點為點C，當點C恰好在直線l上時，首先證明四邊形BOQC是菱形，設Q（m，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），根據(jù)OQ=OB=5，可得方程m²+（$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）²=5²，解方程即可解決問題．
②如圖2中，由題意點D在以B為圓心5為半徑的⊙B上運動，當A、D、B共線時，線段AD最小，設OD與BQ交于點H．先求出D、H兩點坐標，再求出直線BH的解析式即可解決問題．

解答 解：（1）把O（0，0），A（4，4$\sqrt{3}$）的坐標代入y=-$\sqrt{3}$x²+bx+c，
得$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{-16\sqrt{3}+4b+c=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=5\sqrt{3}}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-$\sqrt{3}$x²+5$\sqrt{3}$x．

（2）由題意B（5，0），A（4，4$\sqrt{3}$），
∴直線OA的解析式為y=$\sqrt{3}$x，AB=$\sqrt{{1}^{2}+（4\sqrt{3}）^{2}}$=7，
∵拋物線的對稱軸x=$\frac{5}{2}$，
∴P（$\frac{5}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）．

（3）①如圖1中，點O關于直線BQ的對稱點為點C，當點C恰好在直線l上時，

∵QC∥OB，
∴∠CQB=∠QBO=∠QBC，
∴CQ=BC=OB=5，
∴四邊形BOQC是平行四邊形，
∵BO=BC，
∴四邊形BOQC是菱形，
設Q（m，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），
∴OQ=OB=5，
∴m²+（$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）²=5²，
∴m=±$\frac{5}{2}$，
∴點Q坐標為（-$\frac{5}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）或（$\frac{5}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）

②如圖2中，由題意點D在以B為圓心5為半徑的⊙B上運動，當A、D、B共線時，線段AD最小，設OD與BQ交于點H．

∵AB=7，BD=5，
∴AD=2，D（$\frac{30}{7}$，$\frac{20\sqrt{3}}{7}$），
∵OH=HD，
∴H（$\frac{15}{7}$，$\frac{10\sqrt{3}}{7}$），
∴直線BH的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
當y=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$時，x=0，
∴Q（0，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應用、平行四邊形的判定和性質、菱形的判定和性質、勾股定理、圓等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會用方程的思想思考問題，學會構建一次函數(shù)，利用方程組求交點坐標，屬于中考壓軸題．