Question

2．如圖，邊長為4a的等邊三角形ABC中，M是高CH所在直線上的一個動點，連結MB，將線段BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接HN．則在點M運動過程中，線段HN長度的最小值是（　　）

• A． 2a
• B． a
• C． $\frac{1}{2}$a
• D． $\frac{1}{3}$a

Answer 1

分析 取CB的中點G，連接MG，根據等邊三角形的性質可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根據旋轉的性質可得MB=NB，然后利用“邊角邊”證明∴△MBG≌△NBH，再根據全等三角形對應邊相等可得HN=MG，然后根據垂線段最短可得MG⊥CH時最短，再根據∠BCH=30°求解即可．

解答 解：如圖，取BC的中點G，連接MG，
∵旋轉角為60°，
∴∠MBH+∠HBN=60°，
又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，
∴∠HBN=∠GBM，
∵CH是等邊△ABC的對稱軸，
∴HB=$\frac{1}{2}$AB，
∴HB=BG，
又∵MB旋轉到BN，
∴BM=BN，
在△MBG和△NBH中，$\left\{\begin{array}{l}{BG=BH}\\{∠MBG=∠NBH}\\{MB=NB}\end{array}\right.$，
∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG=NH，
根據垂線段最短，MG⊥CH時，MG最短，即HN最短，
此時∵∠BCH=$\frac{1}{2}$×60°=30°，CG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4a=2a，
∴MG=$\frac{1}{2}$CG=$\frac{1}{2}$×2a=a，
∴HN=a．
故選：B．

點評 本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，垂線段最短的性質，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．