Question

14．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，取BC邊中點E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四邊形EDAF，它的面積記作S₁；取BE中點E₁，作E₁D₁∥FB，E₁F₁∥EF，得到四邊形E₁D₁FF₁，它的面積記作S₂，照此規律作下去，則S₁=1，S₂₀₁₇=$\frac{1}{{4}^{2016}}$．

Answer 1

分析 根據三角形的面積公式求出△ABC的面積，根據三角形中位線定理和相似三角形的性質定理求出△CDE的面積和△BEF的面積，計算出S₁，同理計算即可．

解答 解：∵∠C=90°，AC=BC=2，
∴△ABC的面積為：$\frac{1}{2}$×2×2=2，
∵點E為BC邊中點，ED∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴$\frac{{S}_{△CDE}}{{S}_{△CAB}}$=$\frac{1}{4}$，
∴S_△CDE=$\frac{1}{2}$，
同∵EF∥AC，點E為BC邊中點，
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}$，
∴S₁=1，
同理，S₂=$\frac{1}{4}$，S₃=$\frac{1}{{4}^{2}}$，
以此類推，S₂₀₁₇=$\frac{1}{{4}^{2016}}$．
故答案為：1；$\frac{1}{{4}^{2016}}$．

點評 本題考查的是相似三角形的判定和性質、三角形中位線定理的應用，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半、相似三角形的性質定理是解題的關鍵．