Question

15．如圖，AB是⊙O的直徑，C是半圓O上的一點，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足為D，AD交⊙O于點E，連接CE．
（1）判斷CD與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若E是$\widehat{AC}$的中點，⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）只要證明OC∥AD即可解決問題．
（2）只要證明四邊形AECO是菱形，∠DEC=∠DAO=60°，根據S_陰影=S_△DEC=即可解決問題．

解答 解：（1）CD與圓O相切，理由如下：
∵AC為∠DAB的平分線，
∴∠DAC=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
則CD與圓O相切；                                
（2）連接EB，交OC于F，
∵AB為直徑，
∴∠AEB=90°，
∴EB∥CD，
∵CD與⊙O相切，C為切點，
∴OC⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠EAC=∠ACO，
∵$\widehat{AE}$=$\widehat{EC}$，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ECA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠ECA=∠OAC，
∴EC∥OA，
∴四邊形AECO是平行四邊形，∵OA=OC，
∴四邊形AECO是菱形，
∴AE=EC=OA=OC=2，易知∠DEC=∠DAO=60°，
∴DE=$\frac{1}{2}$EC=1，DC=$\sqrt{3}$DE=$\sqrt{3}$
∵點O為AB的中點，
∴OF為△ABE的中位線，
∴OF=$\frac{1}{2}$AE=1，即CF=DE=1，
在Rt△OBF中，根據勾股定理得：EF=FB=DC=$\sqrt{3}$，
則S_陰影=S_△DEC=$\frac{1}{2}$•DE•DC=$\frac{1}{2}$×$1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 此題考查了直線與圓的位置關系，角平分線性質，以及扇形面積求法，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．