Question

4．已知雙曲線y=$\frac{1}{x}$（x＞0），直線l₁：y-$\sqrt{2}$=k（x-$\sqrt{2}$）（k＜0）過定點(diǎn)F且與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），直線l₂：y=-x+$\sqrt{2}$．
（1）若k=-1，求△OAB的面積S；
（2）若AB=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$，求k的值；
（3）設(shè)N（0，2$\sqrt{2}$），P在雙曲線上，M在直線l₂上且PM∥x軸，問在第二象限內(nèi)是否存在一點(diǎn)Q，使得四邊形QMPN是周長最小的平行四邊形？若存在，請求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）求出A、B點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)S_△OAB=S_△AOC-S_△BOC計(jì)算即可．
（2）利用方程組以及根與系數(shù)的關(guān)系，求出AB，根據(jù)AB=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$，列出方程即可解決問題．
（3）首先證明PM=PF．推出PM+PN=PF+PN≥NF=2推出當(dāng)點(diǎn)P在NF上時(shí)等號成立，此時(shí)NF的方程為y=-x+2$\sqrt{2}$，由（1）知P（$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$+1），由此即可解決問題．

解答 解答：解：（1）當(dāng)k=-1時(shí)，l₁：y=-x+2$\sqrt{2}$，
聯(lián)立得，$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2\sqrt{2}}\\{y=\frac{1}{x}}\end{array}\right.$，化簡得x²-2$\sqrt{2}$x+1=0，
解得：x₁=$\sqrt{2}$-1，x₂=$\sqrt{2}$+1，
設(shè)直線l₁與y軸交于點(diǎn)C，則C（0，2$\sqrt{2}$）．
S_△OAB=S_△AOC-S_△BOC=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{2}$•（x₂-x₁）=2$\sqrt{2}$；

（2）根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{y-\sqrt{2}=k（x-\sqrt{2}）}\\{y=\frac{1}{x}}\end{array}\right.$ 整理得：kx²+$\sqrt{2}$（1-k）x-1=0（k＜0），
∵△=[$\sqrt{2}$（1-k）]²-4×k×（-1）=2（1+k²）＞0，
∴x₁、x₂ 是方程的兩根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{\sqrt{2}（k-1）}{k}}\\{{x}_{1}•{x}_{2}=-\frac{1}{k}}\end{array}\right.$ ①，
∴AB=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（\frac{1}{{x}_{1}}-\frac{1}{{x}_{2}}）^{2}}$，
=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}[1+（\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）^{2}]}$，
=$\sqrt{[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}][1+（\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）^{2}]}$，
將①代入得，AB=$\sqrt{\frac{2（{k}^{2}+1）^{2}}{{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}（{k}^{2}+1）}{-k}$（k＜0），
∴$\frac{\sqrt{2}（{k}^{2}+1）}{-k}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
整理得：2k²+5k+2=0，
解得：k=-2，或 k=-$\frac{1}{2}$；

（3）∵y-$\sqrt{2}$=k（x-$\sqrt{2}$）（k＜0）過定點(diǎn)F，
∴x=$\sqrt{2}$，y=$\sqrt{2}$，
∴F（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
設(shè)P（x，$\frac{1}{x}$），則M（-$\frac{1}{x}$+$\sqrt{2}$，$\frac{1}{x}$），
則PM=x+$\frac{1}{x}$-$\sqrt{2}$=$\sqrt{（x+\frac{1}{x}-\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}-2\sqrt{2}（x+\frac{1}{x}）+4}$，
∵PF=$\sqrt{（x-\sqrt{2}）^{2}+（\frac{1}{x}-\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}-2\sqrt{2}（x+\frac{1}{x}）+4}$，
∴PM=PF．
∴PM+PN=PF+PN≥NF=2，
當(dāng)點(diǎn)P在NF上時(shí)等號成立，此時(shí)NF的方程為y=-x+2$\sqrt{2}$，
由（1）知P（$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$+1），
∴當(dāng)P（$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$+1）時(shí)，PM+PN最小，此時(shí)四邊形QMPN是周長最小的平行四邊形，
∴Q（-$\sqrt{2}$，2 $\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查反比例函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、兩點(diǎn)間距離公式、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用方程組求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)、學(xué)會(huì)利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會(huì)利用兩點(diǎn)之間線段最短解決最短問題，屬于中考壓軸題．