Question

12．如圖①，把∠α=60°的一個單獨的菱形稱作一個基本圖形，將此基本圖形不斷的復制并平移，使得下一個菱形的一個頂點與前一個菱形的中心重合，這樣得到圖②，圖③，…
（1）觀察圖形并完成表格：

圖形名稱	基本圖形的個數	菱形的個數
圖①	1	1
圖②	2	3
圖③	3	7
圖④	4	11
…	…	…

猜想：在圖n中，菱形的個數為4n-5[用含有n（n≥3）的代數式表示]；
（2）如圖，將圖n放在直角坐標系中，設其中第一個基本圖形的中心O₁的坐標為（x₁，1），則x₁=$\sqrt{3}$；第2017個基本圖形的中心O₂₀₁₇的坐標為（2017$\sqrt{3}$，1）．

Answer 1

分析 （1）根據從第3個圖形開始，每多一個基本圖形就會多出4個菱形解答即可；
（2）根據菱形的性質求得中心O₁的坐標為（$\sqrt{3}$，1），據此可得．

解答 解：（1）由題意可知，圖③中菱形的個數7=3+4×（3-2），
圖④中，菱形的個數為3+4×（4-2）=11，
∵當n≥3時，每多一個基本圖形就會多出4個菱形，
∴圖（n）中，菱形的個數為3+4（n-2）=4n-5，
故答案為：11，4n-5；

（2）過點O₁作O₁A⊥y軸，O₁B⊥x軸，則OA=1，

由菱形的性質知∠BAO₁=30°，
∴AO₁=$\frac{B{O}_{1}}{tan30°}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{3}$，
即x₁=$\sqrt{3}$，
中心O₂的坐標為（2$\sqrt{3}$，1）、O₃的坐標為（3$\sqrt{3}$，1）…，O₂₀₁₇的坐標為（2017$\sqrt{3}$，1），
故答案為：$\sqrt{3}$，（2017$\sqrt{3}$，1）．

點評 本題主要考查圖形與坐標的變化規律，根據題意得出每多一個基本圖形就會多出4個菱形的規律和熟練掌握菱形的性質是解題的關鍵．