Question

1．如圖，△ABC是等邊三角形，點E為△ABC，∠AEC=30°，AE=3，CE=4，則BE=5．

Answer 1

分析 如圖將線段CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CD，連接ED，則△CDE是等邊三角形．先證明△ACD≌△BCE，得到AD=BE，在Rt△ADE中，由勾股定理，
可得AD=$\sqrt{A{E}^{2}+E{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．

解答 解：如圖將線段CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CD，連接ED，則△CDE是等邊三角形．
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：
CE=CD，∠DCE=60°，
∴∠DCE+∠ACD=∠ACB+∠ACD，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACE≌△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，
∵△DCE是等邊三角形，
∴∠CDE=60°，DC=DE=4，
∵∠ADC=30°，
∴∠ADC+∠CDE=90°，
∴∠AED=90°，∵AE=3，ED=4，
在Rt△ADE中，由勾股定理，
可得AD=$\sqrt{A{E}^{2}+E{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴BE=AD=5．
故答案為5．

點評 本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)的方法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形以及直角三角形解決問題，屬于中考常考題型．