Question

15．已知：如圖所示，點P為∠AOB的平分線上一點，PC⊥OA于C，∠OAP+∠OBP=180°，求證：OA+OB=2OC．

Answer 1

分析 作PD⊥OB于D，根據角平分線的性質就可以得出PC=PD，根據HL可以判斷△PCO≌PDO，從而可得OC=OD，然后根據AAS就可以得出△ACP≌△BDP，從而得到AC=BD，進而得出AO+OB=2OC．

解答 證明：作PD⊥OB于D．
∴∠PDO=90°．
∵P為∠AOB的平分線OP上一點，PC⊥OA
∴PC=PD．∠PCA=90°．
∴∠PCA=∠PDO．
在Rt△PCO和Rt△PDO中，
$\left\{\begin{array}{l}{PO=PO}\\{PC=PD}\end{array}\right.$
∴Rt△PCO≌Rt△PDO（HL），
∴OC=OD．
∵∠OBP+∠DBP=180°，且∠0AP+∠0BP=180°，
∴∠OAP=∠DBP．
在△ACP和△BDP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PCA=∠PDO}\\{∠OAP=∠DBP}\\{PC=PD}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△BDP（AAS），
∴AC=BD．
∵AO+BO=AC+CO+BO，
∴AO+BO=BD+BO+CO，
∴AO+BO=DO+CO，
∴AO+BO=2CO，

點評 本題考查了角平分線的性質的運用，直角三角形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．