Question

6．如圖，AB為⊙O的直徑，AB=10，AC=6，若AD平分∠CAB，求AD的長．

Answer 1

分析 連接BC、OD、BD，如圖，根據圓周角定理得∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ACB中利用勾股定理計算出BC=8，由于∠CAD=∠BAD，根據圓周角定理得到弧CD=弧BD，再根據垂徑定理的推理得OD垂直平分BC，則OE=$\frac{1}{2}$AC=3，BE=$\frac{1}{2}$BC=4，所以DE=OD-OE=2，在Rt△BDE中利用勾股定理計算出BD=2$\sqrt{5}$，然后在Rt△ADB中利用勾股定理可計算出AD．

解答 解：連接BC、OD、BD，如圖，
∵AB為半圓O的直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ACB中，∵AB=10，AC=6，
∴BC=$\sqrt{{1{0}^{2}-6}^{2}}$=8，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，
∴OD垂直平分BC，
∴OE=$\frac{1}{2}$AC=3，BE=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴DE=OD-OE=2，
在Rt△BDE中，BD=$\sqrt{B{E}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$cm，
在Rt△ADB中，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=4$\sqrt{5}$cm．

點評 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了垂徑定理和勾股定理．