Question

6．如圖，點C是⊙O上一點，⊙O的半徑為$2\sqrt{2}$，D、E分別是弦AC、BC上一動點，且OD=OE=$\sqrt{2}$，則AB的最大值為（　　）

• A． $2\sqrt{6}$
• B． $2\sqrt{3}$
• C． $2\sqrt{2}$
• D． $4\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先判斷出OD⊥AC、OE⊥BC時∠ACB最大，從而得到AB最大，連接OC，根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出∠ACO=30°，再根據垂徑定理和勾股定理求出AC，然后求出∠ACB=60°，再求出AC=BC，從而得到△ABC是等邊三角形，最后根據等邊三角形的性質可得AB=AC．

解答 解：如圖，當OD⊥AC、OE⊥BC時∠ACB最大，AB最大，
連接OC，
∵⊙O的半徑為2$\sqrt{2}$，OD=$\sqrt{2}$，
∴∠ACO=30°，
∴AC=2CD=2$\sqrt{O{C}^{2}-O{D}^{2}}$=2$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
同理可得∠BCO=30°，
∴∠ACB=60°，
∵OD=OE，OD⊥AC、OE⊥BC，
∴AC=BC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=2$\sqrt{6}$，
即AB的最大值為2$\sqrt{6}$．
故選A．

點評 本題考查了垂徑定理，等邊三角形的判定與性質，勾股定理，熟練掌握圓的性質并判斷出AB取得最大值的情況是解題的關鍵．