Question

15．如圖1，兩個不全等的等腰直角三角形OAB和等腰直角三角形OCD疊放在一起，并且有公共的直角頂點O．

（1）在圖1中，你發現線段AC，BD的數量關系是相等，直線AC，BD相交成90度角．
（2）將圖1中的△OAB繞點O順時針旋轉90°角，這時（1）中的兩個結論是否成立？請做出判斷并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由圖可知線段AC，BD相等，且直線AC，BD相交成90°角．
（2）以上關系仍成立．延長CA交BD于點E，根據勾股定理可證得AC=BD，即可證明△AOC≌△BOD，根據兩全等三角形對應角的關系，即可證明CE⊥BD．

解答 解：（1）在圖1中，線段AC，BD的數量關系是相等，直線AC，BD相交成90度角；
故答案為：相等，90；
（2）（1）中結論仍成立；
證明如下：如圖延長CA交BD于點E，
∵等腰直角三角形OAB和OCD，
∴OA=OB，OC=OD，
∵AC²=AO²+CO²，BD²=OD²+OB²，
∴AC=BD；
在△DOB與△COA中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{OC=OD}\\{AC=BD}\end{array}\right.$，
∴△DOB≌△COA（SSS），
∴∠CAO=∠DBO，∠ACO=∠BDO，
∵∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠ACO+∠DBO=90°，則∠AEB=90°，即直線AC，BD相交成90°角．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定和性質，涉及到等腰直角三角形的性質、旋轉的性質，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．