Question

3．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，點(diǎn)D是弦BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)DO交⊙O于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，作射線DE交CA的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，連接PF．
（1）若∠B=30°，AB=10，求劣弧$\widehat{PC}$的長(zhǎng)；（結(jié)果保留π）
（2）線段AE與AF相等嗎？為什么？
（3）PF與⊙O的相切嗎？為什么？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式l=$\frac{nπr}{180}$進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）證明△BOD≌△POE可得DO=EO，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ODE=∠OED，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ODE=∠AFE，等量代換得到∠AEF=∠AFE，由等腰三角形的判定即可得到結(jié)論；
（3）連接AP，PB，證出PA為EF的中垂線，再利用△AEP∽△BAP找出角的關(guān)系求解．

解答 （1）解：連接OC，
∵點(diǎn)D是弦BC的中點(diǎn)，AB是直徑，
∴OD⊥BC，
∵AB是直徑，
∴∠BDO=∠C=90°，
∵∠ABC=30°，AB=10，
∴AO=5，∠AOC=∠BOD=60°，
∴∠POA=60°，
∴∠POC=120°，
∴$\widehat{PC}$的長(zhǎng)=$\frac{120•π•5}{180}$=$\frac{10}{3}$π；

（2）證明：∵PE⊥AB，OD⊥CB，
∴∠PEO=90°，∠BDO=90°
在△BDO和△PEO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BOD=∠PEO}\\{∠BOD=∠POE}\\{OB=OP}\end{array}\right.$，
∴△POE≌△BOD（AAS），
∴OD=EO，
∴∠ODE=∠OED，
∵∠BDO=∠BCA=90°，
∴OD∥AC，
∴∠ODE=∠AFE，
∵∠DEO=∠AEF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF；
（3）證明：如圖，連接AP，PB，
∵OB=OP，
∴∠OBP=∠OPB，
由（2）得OD=EO，
∴∠ODE=∠OED，
又∵∠BOP=∠EOD，
∴∠OPB=∠ODE，
∴BP∥DF，
∵AB是直徑，
∴∠APB=90°，
∴∠PQE=90°
∴PA⊥EF，
∵AE=AF，
∴PA為EF的中垂線，
∴∠EPQ=∠QPF，
∵△AEP∽△BAP
∴∠EPQ=∠EBP，
∴∠QPF=∠EBP，
∴∠QPF=∠OPB，
∵∠OPB+∠OPA=90°，
∴∠QPF+∠OPA=90°，
∴OP⊥PF，
∴PF是⊙O的切線．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了切線的判定，解題的關(guān)鍵是適當(dāng)?shù)淖鞒鲚o助線，準(zhǔn)確的找出角的關(guān)系．