Question

18．如圖，E、F分別是AD和BC上的兩點，EF將四邊形ABCD分成兩個邊長為5cm的正方形，∠DEF=∠EFB=∠B=∠D=90°；點H是CD上一點且CH=lcm，點P從點H出發，沿HD以lcm/s的速度運動，同時點Q從點A出發，沿A→B→C以5cm/s的速度運動．任意一點先到達終點即停止運動；連結EP、EQ．
（1）用t表示△EPD的面積（10-2.5t）cm²；
（2）試探究：當t為何值時，△EPD的面積等于△EQF面積的$\frac{7}{10}$？

Answer 1

分析 （1）由三角形的面積公式即可得出結果；
（2）分類討論：①當點Q在AB上時；②當點Q在BF上時，③當點Q在CF上時，分別求出△EQF和△EQF的面積，根據面積關系得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）S_△EPD=$\frac{1}{2}$ED×DP=$\frac{1}{2}$×5×（4-t）=10-2.5t；
故答案為：（10-2.5t）cm²；
（2）分三種情況討論：
①如圖1所示，過Q作QM⊥EF，垂足為M．
∵四邊形ABFE是正方形，
∴QM=AE=5cm．
當0＜t≤1時，S_△EQF=$\frac{1}{2}$EF×QM=$\frac{1}{2}$×5×5=12.5，S_△EPD=$\frac{1}{2}$ED×DP=$\frac{1}{2}$×5×（4-t）=10-2.5t，
當 $\frac{7}{10}$S_△EQF=S_△EPD時，即 $\frac{7}{10}$×12.5=10-2.5t，
解得，t=0.5；
②當1＜t≤2時，S_△EQF=$\frac{1}{2}$×EF×FQ=2.5FQ，S_△EPD=$\frac{1}{2}$ED×DP=$\frac{1}{2}$×5×（4-t）=10-2.5t，
∵FQ=10-5t，
∴$\frac{7}{10}$×2.5（10-5t）=10-2.5t，
解得：t=1.2；
③當2＜t≤3時，S_△EQF=$\frac{1}{2}$FQ×EF=2.5（5t-10），S_△EPD=$\frac{1}{2}$ED×DP=$\frac{1}{2}$×5×（4-t）=10-2.5t，
∴$\frac{7}{10}$×2.5×（5t-10）=2.5（4-t），
解得：t=$\frac{22}{9}$；
綜上所述：當t的值為0.5s或1.2s或$\frac{22}{9}$s時，△EPD的面積等于△EQF面積的$\frac{7}{10}$．

點評 本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質、矩形的性質、三角形的面積計算以及分類討論的思想等知識；熟練掌握正方形的性質，本題綜合性強，確定點Q所在的位置是解決問題（2）的關鍵．