Question

10．已知a、b是正實數，那么，$\frac{a+b}{2}$$≥\sqrt{ab}$是恒成立的．
（1）由（$\sqrt{a}-\sqrt{b}$）²≥0恒成立，請你說明$\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}$恒成立．
（2）如圖，已知AB是直徑，點P是弧上異于點A和點B的一點，PC⊥AB，垂足為C，AC=a，BC=b，由此圖說明$\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}$恒成立．

Answer 1

分析 （1）已知不等式左邊利用完全平方公式化簡，整理即可得證；
（2）連接OP，利用直徑所對的圓周角為直角且PC與AB垂直，得到三角形APC與三角形PBC相似，由相似得比例表示出PC，根據垂線段最短即可得證．

解答 解：（1）由（$\sqrt{a}-\sqrt{b}$）²≥0，得到a-2$\sqrt{ab}$+b≥0，
于是a+b≥2$\sqrt{ab}$，
則$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$；
（2）連接OP，
∵AB為直徑，
∴∠APB=90°，
∵PC⊥AB，
∴Rt△APC∽Rt△PBC，
∴$\frac{PC}{AC}$=$\frac{CB}{PC}$，即PC²=AC•CB=ab，
∴PC=$\sqrt{ab}$，
∵PO=$\frac{a+b}{2}$，
由垂線段最短得到PO≥PC，
則$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質，圓周角定理，以及垂徑定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．