Question

7．數學課上，李老師出示了如框（圖2）中的題目．
小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：
（1）特殊情況，探索結論：當點E為AB的中點時，如圖1，確定線段AE與DB的大小關系，請你直接寫出結論：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
（2）特例啟發，解答題目：
解：題目中，AE與DB的大小關系是：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
理由如下：如圖2，過點E作EF∥BC，交AC于點F．（請你接著完成以下解答過程）

（3）拓展結論，設計新題
在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED=EC．若△ABC的邊長為3，AE=1，則CD的長為2或4（請你直接寫出結果）．

Answer 1

分析 （1）根據等邊三角形的性質，得出AE=BE，根據∠D=∠BED，即可得出BD=BE，進而得出AE=BD；
（2）過點E作EF∥BC，交AC于點F，先得出AE=AF=EF，再判定△DBE≌△EFC（SAS），得出DB=EF，進而得出AE=BD；
（3）根據AE=1，△ABC的邊長為3，可知E點可能在線段AB上，也可能在BA的延長線上，因此分兩種情況進行討論：①當點E在AB時，同（2）可知，BD=EF=AE=1，即可得出CD=BC+BD=3+1=4；②當點E在BA的延長線上時，過點E作EF∥BC，交CA的延長線于點F，先判定△BDE≌△FEC（AAS），得出EF=BD，再判定△AEF為等邊三角形，進而得出CD=BC-BD=3-1=2．

解答 解：（1）∵等邊三角形ABC中，E是AB的中點，
∴∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，AE=BE，
又∵EC=ED，
∴∠D=∠BCE=30°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BED=60°-∠D=30°，
∴∠D=∠BED，
∴BD=BE，
∴AE=BD，
故答案為：=；

（2）AE與DB的大小關系是：AE=DB．
理由如下：如圖2，過點E作EF∥BC，交AC于點F．
在等邊△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC，
∴AE=AF=EF，
∴AB-AE=AC-AF，即BE=CF，
∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°，∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，
∴∠BED=∠FCE，
在△DBE和△EFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{ED=EC}\\{∠BED=∠FCE}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB=EF，
∴AE=BD，
故答案為：=；

（3）∵AE=1，△ABC的邊長為3，
∴E點可能在線段AB上，也可能在BA的延長線上，
①當點E在AB時，同（2）可知，BD=EF=AE=1，
∴CD=BC+BD=3+1=4；
②當點E在BA的延長線上時，如圖3，過點E作EF∥BC，交CA的延長線于點F，則
∠F=∠FCB=∠B=60°，∠FEC+∠ECD=∠FEC+∠EDC=180°，
∴∠EDB=∠FEC，
且ED=EC，
在△BDE和△FEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠F}\\{∠BDE=∠FEC}\\{ED=EC}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴EF=BD，
又∵∠F=∠FAE=∠AEF=60°，
∴△AEF為等邊三角形，
∴BD=EF=AE=1，
∴CD=BC-BD=3-1=2，
故答案為：2或4．

點評 本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質及等邊三角形的性質和判定等知識的綜合應用．證明三角形全等，根據全等三角形的對應邊相等得到BD=EF，再結合EF和AE的關系是得出結論的關鍵．