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19.已知m,n滿(mǎn)足m+n=4,mn=k-1,設(shè)y=(m-n)2
(1)當(dāng)k被5整除時(shí),求證:y能被20整除;
(2)若m,n都為非負(fù)數(shù),y存在最大值和最小值嗎?若存在,請(qǐng)求之;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 (1)首先根據(jù)k被5整除,可以設(shè)k=5t(t是整數(shù)),然后根據(jù)m+n=4,mn=k-1=5t-1,應(yīng)用完全平方公式,用含有t的代數(shù)式表示出y,判斷出y能被20整除即可.
(2)根據(jù)m,n都為非負(fù)數(shù),以及mn≤${(\frac{m+n}{2})}^{2}$,m+n=4,判斷出k的取值范圍,即可判斷出y是否存在最大值和最小值,如果存在的話(huà),根據(jù)二次函數(shù)的最值的求法,求出y的最大值和最小值各是多少即可.

解答 (1)證明:當(dāng)k被5整除時(shí),設(shè)k=5t(t是整數(shù)),
∵m+n=4,mn=k-1=5t-1,
∴y=(m-n)2
=(m+n)2-4mn
=42-4(5t-1)
=20-20t
=20(1-t)
∵20(1-t)÷20=1-t,
∴y能被20整除.

(2)解:∵m,n都為非負(fù)數(shù),
∴mn≥0,
∴k-1≥0,
解得k≥1;
∵mn≤${(\frac{m+n}{2})}^{2}$=${(\frac{4}{2})}^{2}$=4,
∴k-1≤4,
解得k≤5,
∴1≤k≤5,
∴y=(m-n)2
=(m+n)2-4mn
=42-4(k-1)
=20-4k
∵1≤k≤5,
∴4≤4k≤20,
∴0≤20-k≤16,
∴y存在最大值和最小值,最大值是16,最小值是0.

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)的最值的求法,以及完全平方公式的應(yīng)用,要熟練掌握.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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