Question

19．已知m，n滿(mǎn)足m+n=4，mn=k-1，設(shè)y=（m-n）²
（1）當(dāng)k被5整除時(shí)，求證：y能被20整除；
（2）若m，n都為非負(fù)數(shù)，y存在最大值和最小值嗎？若存在，請(qǐng)求之；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)k被5整除，可以設(shè)k=5t（t是整數(shù)），然后根據(jù)m+n=4，mn=k-1=5t-1，應(yīng)用完全平方公式，用含有t的代數(shù)式表示出y，判斷出y能被20整除即可．
（2）根據(jù)m，n都為非負(fù)數(shù)，以及mn≤${（\frac{m+n}{2}）}^{2}$，m+n=4，判斷出k的取值范圍，即可判斷出y是否存在最大值和最小值，如果存在的話(huà)，根據(jù)二次函數(shù)的最值的求法，求出y的最大值和最小值各是多少即可．

解答 （1）證明：當(dāng)k被5整除時(shí)，設(shè)k=5t（t是整數(shù)），
∵m+n=4，mn=k-1=5t-1，
∴y=（m-n）²
=（m+n）²-4mn
=4²-4（5t-1）
=20-20t
=20（1-t）
∵20（1-t）÷20=1-t，
∴y能被20整除．

（2）解：∵m，n都為非負(fù)數(shù)，
∴mn≥0，
∴k-1≥0，
解得k≥1；
∵mn≤${（\frac{m+n}{2}）}^{2}$=${（\frac{4}{2}）}^{2}$=4，
∴k-1≤4，
解得k≤5，
∴1≤k≤5，
∴y=（m-n）²
=（m+n）²-4mn
=4²-4（k-1）
=20-4k
∵1≤k≤5，
∴4≤4k≤20，
∴0≤20-k≤16，
∴y存在最大值和最小值，最大值是16，最小值是0．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)的最值的求法，以及完全平方公式的應(yīng)用，要熟練掌握．