Question

4．閱讀下面材料：
      小明觀察一個由1×1正方形點陣組成的點陣圖，圖中水平與豎直方向上任意兩個相鄰點間的距離都是1，他發現一個有趣的問題：對于圖中出現的任意兩條端點在點陣上且互相不垂直的線段，都可以在點陣中找到一點構造垂直，進而求出它們相交所成銳角的正切值．
請解決：
（1）如圖1，A，B，C是點陣中的三個點，請在點陣中找到點D，連結線段CD，使得CD⊥AB；
（2）如圖2，線段AB與CD交于點O．為了求出∠AOD的正切值，小明在點陣中找到了點E，連接AE，恰好滿足AE⊥CD于點F，再作出點陣中的其它線段，就可以構造相似三角形，經過推理和計算能夠使問題得到解決．
請你幫小明寫出計算OC和tan∠AOD的過程；
（3）如圖3，計算：tan∠AOD=$\frac{7}{4}$．（直接寫出計算結果）

Answer 1

分析 （1）根據全等三角形的性質可得線段CD即為所求．
（2）如圖2中，構造Rt△AOF，根據tan∠AOD=$\frac{AF}{OF}$，想辦法求出AF、OF即可解決問題．
（3）如圖3中，構造Rt△AOF中，根據tan∠AOF=$\frac{AF}{OF}$，求出AF、OF即可．

解答 解：（1）如圖1中，線段CD即為所求．


（2）如圖2中，

在Rt△ADE中，∵AD=DE=2，∠ADE=90°，
∴AE=$\sqrt{2}$AD=2$\sqrt{2}$，
∵CD⊥AE，
∴DF=AF=$\sqrt{2}$，
∵AC∥BD，
∴△ACO∽△DBO，
∴$\frac{CO}{DO}$=$\frac{2}{3}$，
∴CO=$\frac{2}{5}$CD=$\frac{2}{5}$×$2\sqrt{2}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，
∴DO=$\frac{6\sqrt{2}}{5}$，
∴OF=$\frac{6\sqrt{2}}{5}$-$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{5}$，
∴在Rt△AOF中，tan∠AOD=$\frac{AF}{FO}$=$\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{5}}$=5．


（3）如圖3中，

易知AF=$\sqrt{5}$，EF=2$\sqrt{5}$，
由△BOF∽△AOE，得到$\frac{BF}{AE}$=$\frac{OF}{OE}$=$\frac{2}{5}$，
∴OF=$\frac{2}{7}$EF=$\frac{4\sqrt{5}}{7}$，
在Rt△AOF中，tan∠AOF=$\frac{AF}{OF}$=$\frac{\sqrt{5}}{\frac{4\sqrt{5}}{7}}$=$\frac{7}{4}$．
故答案為$\frac{7}{4}$．

點評 本題考查相似三角形的應用，全等三角形的應用、勾股定理、銳角三角函數、平行線的性質等知識，解題的關鍵是構造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型．