Question

20．如圖①，一折疊桌面展開后成圓形，圖中陰影部分是四個完全相等的弓形，可被折疊到桌面的背面去，若折疊后桌面上兩對邊間的距離為8dm，可折疊的弓形的底邊長為7dm．
（1）求桌面展開成圓形時桌面的面積（結果保留π）；
（2）如果將桌面重新設計．保持原來的直徑大小不變，但折疊后的桌面恰好為一正方形，如圖②所示，求這個正方形的面積．

Answer 1

分析 （1）如圖1，過O作OM⊥CD于M，由垂徑定理得到CM=$\frac{1}{2}$CD=3.5dm，由勾股定理得到OC=$\sqrt{C{M}^{2}+O{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{97}}{2}$，根據圓的面積公式即可得到結論；
（2）如圖2，連接BD，由四邊形ABCD是正方形，得到∠A=90°，推出BD過圓心O，于是得到結論．

解答 解：（1）如圖1，過O作OM⊥CD于M，
∴CM=$\frac{1}{2}$CD=3.5dm，
∵桌面上兩對邊間的距離為8dm，
∴OM=4dm，
∴OC=$\sqrt{C{M}^{2}+O{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{97}}{2}$，
∴桌面展開成圓形時桌面的面積=OC²•π=$\frac{97}{4}$π；
（2）如圖2，連接BD，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，
∴BD過圓心O，
∵保持原來的直徑大小不變，
∴BD=$\sqrt{97}$，
∴S_{正方形ABCD}=$\frac{1}{2}$BD²=$\frac{97}{2}$．

點評 本題考查了正方形的性質、正方形和圓的關系，垂徑定理，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．