Question

18．如圖，在△ABC中，點D，E分別是邊AB，AC的中點，點G是EC的中點，連接DG交BE于點O，若△ADE的面積為S，求四邊形BDGC的面積．

Answer 1

分析 由中位線定理得出DE∥BC且$\frac{DE}{BC}$=$\frac{1}{2}$，從而證△ADE∽△ABC得$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{DE}{BC}$）²=$\frac{1}{4}$，即可知S_△ABC=4S，繼而得S_{四邊形BDCE}=S_△ABC-S_△ADE=3S，DF⊥AE于點F，由中點定義得出EG=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{1}{2}$AE，繼而由$\frac{{S}_{△DEG}}{{S}_{△DEA}}$=$\frac{\frac{1}{2}EG•DF}{\frac{1}{2}AE•DF}$=$\frac{EG}{AE}$=$\frac{1}{2}$得S_△DEG=$\frac{1}{2}$S，最后由S_{四邊形BDGC}=S_{四邊形BDCE}-S_△DEG得出答案．

解答 解：∵點D，E分別是邊AB，AC的中點，
∴DE∥BC，且$\frac{DE}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{DE}{BC}$）²=$\frac{1}{4}$，
∵S_△ADE=S，
∴S_△ABC=4S，
則S_{四邊形BDCE}=S_△ABC-S_△ADE=3S，
如圖，過點D作DF⊥AE于點F，

∵點G是EC的中點，且AE=EC，
∴EG=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{1}{2}$AE，
則$\frac{{S}_{△DEG}}{{S}_{△DEA}}$=$\frac{\frac{1}{2}EG•DF}{\frac{1}{2}AE•DF}$=$\frac{EG}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
∴S_△DEG=$\frac{1}{2}$S，
∴S_{四邊形BDGC}=S_{四邊形BDCE}-S_△DEG=3S-$\frac{1}{2}$S=$\frac{5}{2}$S．

點評 本題主要考查相似三角形的判定與性質、中位線定理、三角形的面積及割補法求不規則圖形的面積，熟練掌握相似三角形的判定與性質及共高的兩三角形的面積比等于底邊的比是解題的關鍵．