Question

8．如圖，已知A（-4，n），B（2，-4）是一次函數y=kx+b的圖象和反比例函數y=$\frac{m}{x}$的圖象的兩個交點．
（1）求反比例函數和一次函數的解析式；
（2）求△AOB的面積；
（3）根據圖象直接寫出不等式kx+b＜$\frac{m}{x}$時x的解集．

Answer 1

分析 （1）先把B點坐標代入y=$\frac{m}{x}$，求出m得到反比例函數解析式為y=-$\frac{8}{x}$，再利用反比例函數解析式確定A點坐標，然后利用待定系數法求一次函數解析式；
（2）先求C點坐標，然后根據三角形面積公式和S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC進行計算；
（3）觀察函數圖象得到當-4＜x＜0或x＞2時，一次函數圖象都在反比例函數圖象下方，即有kx+b＜$\frac{m}{x}$．

解答 解：（1）∵B（2，-4）在函數y=$\frac{m}{x}$的圖象上，
∴m=2×（-4）=-8，
∴反比例函數的解析式為：y=-$\frac{8}{x}$．
∵點A（-4，n）在函數y=-$\frac{8}{x}$的圖象上，
∴n=-$\frac{8}{-4}$=2，
∴A（-4，2）．
∵y=kx+b經過A（-4，2），B（2，-4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=2}\\{2k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴一次函數的解析式為：y=-x-2；

（2）∵C是直線AB與x軸的交點，
∴當y=0時，x=-2，
∴點C（-2，0），
∴OC=2，
∴S_△AOB=S_△ACO+S_△BCO=$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{1}{2}$×2×4=6；

（3）不等式kx+b＜$\frac{m}{x}$時x的解集為-4＜x＜0或x＞2．

點評 本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：求反比例函數與一次函數的交點坐標，把兩個函數關系式聯立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．也考查了待定系數法求一次函數解析式和觀察函數圖象的能力．