Question

17．如圖，已知△ABC，△DCE，△FEG是三個全等的等腰三角形，底邊BC，CE，EG在同一直線上，且AB=$\sqrt{3}$，BC=1，連結(jié)BF，分別交AC，DC，DE于點(diǎn)P，Q，R．
（1）求證：△BFG∽△FEG，并求出BF的長；
（2）求AP：PC的值；
（3）觀察圖形，請你提出一個與點(diǎn)P相關(guān)的問題，并進(jìn)行解答．（根據(jù)提出問題的層次和解答過程平分）

Answer 1

分析 （1）已知三個全等的等腰三角形，以及邊長，所以可求得各線段的長，即可求得線段的比值，由公共角即可證得△BFG∽△FEG；
（2）利用△BPC～△BFG求得PC的長，進(jìn)而可知AP的長，即可得答案．
（3）可以提問求證：∠PCB=∠REC，這個問題只需要運(yùn)用兩直線平行，同位角相等進(jìn)行解答．此題為發(fā)散性題型，不唯一．

解答 解：（1）據(jù)題意知BC=CE=EG=1，BG=3，F(xiàn)G=AB=$\sqrt{3}$，
在△BFG和△FEG中，
∵$\frac{FG}{EG}$=$\frac{BG}{FG}$=$\sqrt{3}$，∠G=∠G
∴△BFG∽△FEG；

（2）∵△ABC≌△FEG，
∴∠ACB=∠G，
∴PC∥FG，
∴△BPC～△BFG，
∴$\frac{PC}{BC}$=$\frac{FG}{BG}$，即 $\frac{PC}{1}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得：PC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵AC=AB=$\sqrt{3}$，
∴AP=AC-PC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{AP}{PC}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=2．

（3）①求證：∠PCB=∠REB，②求證：PC∥RE，答案不唯一．
證明：∵△ABC≌△DCE，
∴∠PCB=∠REB，
∴PC∥RE．

點(diǎn)評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及全等三角形、等腰三角形的性質(zhì)運(yùn)用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．