Question

8．把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點C與E重合），點B、C（E）、F在同一條直線上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在△DEF移動的同時，點P從△ABC的頂點A出發，以2cm/s的速度沿AB向點B勻速移動；當點P移動到點B時，點P停止移動，△DEF也隨之停止移動．DE與AC交于點Q，連接PQ，設移動時間為t（s）．

（1）用含t的代數式表示線段AP和AQ的長，并寫出t的取值范圍；
（2）當t為何值時，△APQ是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）根據題意以及直角三角形性質，表達出CQ、AQ，再根據當點P移動到點B時，點P停止移動，得出t的取值范圍；
（2）分三種情況進行討論：①若AP=AQ；②若AP=PQ；③若AQ=PQ，根據題意以及相似三角形對應邊成比例，列出比例式進行計算即可得出結論．

解答 （1）解：∵點P從△ABC的頂點A出發，以2cm/s的速度沿AB向點B勻速移動，
∴AP=2t，
∵∠EDF=90°，∠DEF=45°，
∴∠CQE=45°=∠DEF，
∴CQ=CE=t，
∴AQ=8-t，
∵Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB=10cm，
∴10÷2=5（s），
∵當點P移動到點B時，點P停止移動，
∴t的取值范圍是：0≤t≤5；

（2）解：分三種情況：
①若AP=AQ，則有2t=8-t，如圖2，

解得：t=$\frac{8}{3}$（s）；
②若AP=PQ，如圖3，過點P作PH⊥AC，則AH=QH=$\frac{8-t}{2}$，

∵PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AH}$=$\frac{AB}{AC}$，
即$\frac{2t}{\frac{1}{2}（8-t）}$=$\frac{10}{8}$，
解得：t=$\frac{40}{21}$（s）；
③若AQ=PQ，如圖4，過點Q作QI⊥AB，則AI=PI=$\frac{1}{2}$AP=t，

∵∠AIQ=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△AQI∽△ABC，
∴$\frac{AI}{AQ}$=$\frac{AC}{AB}$，
即$\frac{t}{8-t}$=$\frac{8}{10}$，
解得：t=$\frac{32}{9}$（s）
綜上所述，當t=$\frac{8}{3}$s或$\frac{40}{21}$s或$\frac{32}{9}$s時，△APQ是等腰三角形．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質以及勾股定理的綜合應用，解決問題的關鍵是根據題意畫出圖形，運用等腰三角形的三線合一的性質進行計算，解題時注意分類思想的運用．