Question

16．如圖，已知直線l₁∥l₂∥l₃∥l₄，相鄰兩條平行線間的距離都相等，如果等腰Rt△ABC（∠ACB=90°）的三個(gè)頂點(diǎn)分別在三條直線上，則sinα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 過C作EF⊥l₁，垂足為E，交l₄于點(diǎn)F，由條件可證明△BFC≌△CEA，則可求得AE=2CE，在Rt△AEC中可求得AC，可求得答案．

解答 解：
如圖，過C作EF⊥l₁，垂足為E，交l₄于點(diǎn)F，
由題意可知AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BCF+∠ACE=∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠EAC=∠BCF，
在△BFC和△CEA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCF=∠CAE}\\{∠BFC=∠CEA}\\{BC=AC}\end{array}\right.$
∴△BFC≌△CEA（AAS），
∴AE=CF，
又CF=2CE，
∴AE=2EC，
在Rt△ACE中，由勾股定理可知AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$CE，
∴sinα=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{CE}{\sqrt{5}CE}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)及三角函數(shù)的定義，由條件構(gòu)造三角形全等，求得AC與CE的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．