Question

11．一個批發兼零售的文具店規定：凡一次購買鉛筆301支以上（包括301支）可以按批發價付款；購買300支以下（包括300支）只能按零售價付款，現有小王購買鉛筆，如果給初三年級學生每人買1支，只能按零售價付款，需用（m²-1）元，（m為正整數，且m²-1＞100）如果多買60支，則可按批發價付款，同樣需用（m²-1）元．
（1）設初三年級共有x名學生，則x的取值范圍是多少？鉛筆的零售價每支多少元？批發價每支應為多少元？（用含x、m的代數式表示）
（2）若按批發價每購15支比按零售價每購15支少一元，試求初三年級共有多少學生？并確定m的值．

Answer 1

分析 （1）根據題意可以得到x的取值范圍，從而可以得到鉛筆的零售價和批發價；
（2）根據題意可以列出相應的方程，從而可以求得x與m的關系，再根據（1）中x的取值范圍和m為正整數，且m²-1＞100，可以確定m的值，從而可以得到初三的學生數．

解答 解：（1）由題意可得，
x的取值范圍是：240＜x≤300（x為正整數）；
鉛筆的零售價每支應為：$\frac{{m}^{2}-1}{x}$ 元；
鉛筆的批發價每支應為：$\frac{{m}^{2}-1}{x+60}$元；
（2）由題意可得，
15×$\frac{{m}^{2}-1}{x}$-15×$\frac{{m}^{2}-1}{x+60}$=1，
化簡，得
x²+60x-900（m²-1）=0，
解得，x₁=30（m-1），x₂=-30（m-1）（舍去），
∴240＜30（m-1）≤300，
解得，9＜m≤11，
∴m=10或m=11，
當m=10時，m²-1=99＜100，故m=10不合題意，舍去，
當m=11時，m²-1=120＞100，符合題意，
∴m=11，
∴x=30（m-1）=300，
經檢驗x=300是原分式方程的解，
答：初三年級共有300名學生，m的值是11．

點評 本題考查一元二次方程的應用，分式方程的應用，解一元一次不等式，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，注意分式方程要檢驗，應用題最后要作答．