Question

4．如圖以△ABC的各邊，在邊BC的同側分別作三個正方形，它們分別是正方形ABDI，BCFE，ACHG，則四邊形ADEG的形狀為平行四邊形．

Answer 1

分析 根據全等三角形的判定定理SAS證得△BDE≌△BAC，所以全等三角形的對應邊DE=AG．然后利用正方形對角線的性質、周角的定義推知∠EDA+∠DAG=180°，易證ED∥GA；最后由“一組對邊平行且相等”的判定定理證得結論；

解答 解：圖中四邊形ADEG是平行四邊形．理由如下：
∵四邊形ABDI、四邊形BCFE、四邊形ACHG都是正方形，
∴AC=AG，AB=BD，BC=BE，∠GAC=∠EBC=∠DBA=90°．
∴∠ABC=∠EBD（同為∠EBA的余角）．
在△BDE和△BAC中，
 $\left\{\begin{array}{l}{BD=BA}\\{∠DBE=∠ABC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△BAC（SAS），
∴DE=AC=AG，∠BAC=∠BDE．
∵AD是正方形ABDI的對角線，
∴∠BDA=∠BAD=45°．
∵∠EDA=∠BDE-∠BDA=∠BDE-45°，
∠DAG=360°-∠GAC-∠BAC-∠BAD
=360°-90°-∠BAC-45°
=225°-∠BAC
∴∠EDA+∠DAG=∠BDE-45°+225°-∠BAC=180°
∴DE∥AG，
∴四邊形ADEG是平行四邊形（一組對邊平行且相等）．
故答案為平行四邊形．

點評 本題綜合考查了正方形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質等知識點．解題時，注意利用隱含在題干中的已知條件：周角是360°．