Question

14．如圖，在?ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，∠A=30°，點P從點A出發沿線段AB以1m/s的速度向B點移動．
（1）當P點運動了幾秒時，△PBC為等腰三角形？
（2）是否存在一點P，使S_△PBC=$\frac{1}{3}$S_?ABCD？若存在求AP的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性質得出BP=BC=6，得出AP=AB-BP=8-6=2，求出t=2即可；
（2）由平行四邊形的性質得出AD=BC=6cm，過D作DH⊥AB于H，由含30°角的直角三角形的性質得出DH=$\frac{1}{2}$AD=3cm，求出?ABCD的面積=AB•DH=24，得出△PBC的面積=$\frac{1}{2}$BP•DH=8，求出BP=$\frac{16}{3}$cm，即可得出AP的長．

解答 解：（1）∵△PBC是等腰三角形，
∴BP=BC=6，
∴AP=AB-BP=8-6=2，
∴t=2，
即當P點運動了2秒時，△PBC為等腰三角形；
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC=6cm，過D作DH⊥AB于H，
∵∠A=30°，
∴DH=$\frac{1}{2}$AD=3cm，
∴?ABCD的面積=AB•DH=8×3=24，
∴△PBC的面積=$\frac{1}{3}$×24=8=$\frac{1}{2}$BP•DH，
∴BP=$\frac{16}{3}$，
∴AP=AB-BP=8-$\frac{16}{3}$=$\frac{8}{3}$（cm）．

點評 本題考查了平行四邊形的性質、等腰三角形的性質、含30°角的直角三角形的性質等知識；熟練掌握平行四邊形的性質是解決問題的關鍵．