Question

19．如圖，△ABC中，∠C=90?，AD平分∠BAC，∠ADB=120°，AD=$2\sqrt{3}$．求AB的長．

Answer 1

分析 由AD平分∠BAC、∠ADB=120°知∠DAC=∠BAD=30°、CD=$\frac{1}{2}AD$=$\sqrt{3}$，由∠DBA=∠DAB=30°知BD=AD=$2\sqrt{3}$，根據sin60°=$\frac{AC}{AD}$得AC的長，從而可得AB=2AC=6．

解答 解：∵∠ADB=120°，
∴∠ADC=60°，∠DAC=30°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠BAD=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}AD$=$\sqrt{3}$，
∴∠DBA=∠DAB=30°，
∴BD=AD=$2\sqrt{3}$，
∵sin60°=$\frac{AC}{AD}$，
∴$\frac{AC}{{2\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴AC=3，
∵∠DBA=30°，
∴AB=2AC=6．

點評 本題主要考查角平分線的性質、解直角三角形的應用，熟練掌握三角函數的定義及角平分線的性質得出角的度數是解題的關鍵．