Question

11．已知半徑為5的⊙O₁過點O（0，0），A（8，0），與y軸的正半軸交于點B，OE為直徑，點M為弧OBE上一動點（不與點O、E重合），連結MA，作NA⊥MA于點A交ME的延長線于點N，則線段AN最長為$\frac{15}{2}$．

Answer 1

分析 先判斷出∠OAE=90°，根據勾股定理得出AE=10，再判斷出△OAE∽△MAN得出AN=$\frac{AE•AM}{OA}$=$\frac{3}{4}$AM，即AM是直徑時AM最大即可得出結論．

解答 解：如圖，連接AE，∵A（8，0），
∴OA=8，
∵⊙O₁的半徑為5，OE是⊙O₁的直徑，
∴OE=10，
∵OE是⊙O₁的直徑，
∴∠OAE=90°，
在Rt△OAE中，根據勾股定理得，AE=$\sqrt{O{E}^{2}-O{A}^{2}}$=6，
∵NA⊥MA，
∴∠NAM=∠OAE=90°，
∵∠AOE=∠AMN，
∴△OAE∽△MAN，
∴$\frac{OA}{AM}=\frac{AE}{AN}$，
∴AN=$\frac{AE•AM}{OA}$=$\frac{6}{8}$×AM=$\frac{3}{4}$AM，要AN最長，
則有AM最長，而AM是⊙O1的弦，
∴AM最大是直徑為10，
∴AN最大=$\frac{3}{4}$AM最大=$\frac{3}{4}$×10=$\frac{15}{2}$，
故答案為$\frac{15}{2}$．

點評 此題是圓的綜合題，主要考查了圓的性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質，作出輔助線判斷出△OAE∽△MAN是解本題的關鍵．