Question

16．已知△ABC，以AC為邊在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．

（1）如圖1，若AB為邊在△ABC外作△ABE，AB=AE，∠DAC=∠EAB=60°，求∠BFC的度數；
（2）如圖2，∠ABC=α，∠ACD=β，BC=6，BD=8．
①若α=30°，β=60°，AB的長為$2\sqrt{7}$；
②若改變α、β的大小，但α+β=90°，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據SAS，可首先證明△AEC≌△ABD，再利用全等三角形的性質，可得對應角相等，根據三角形的外角的定理，可求出∠BFC的度數；
（2）①如圖2，在△ABC外作等邊△BAE，連接CE，利用旋轉法證明△EAC≌△BAD，可證∠EBC=90°，EC=BD=8，因為BC=6，在Rt△BCE中，由勾股定理求BE即可；
②過點B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，連接EA，EC．并取BE的中點K，連接AK，仿照（2）利用旋轉法證明△EAC≌△BAD，求得EC=DB，利用勾股定理即可求解．

解答 解：（1）如圖1，
∵AE=AB，AD=AC，
∵∠EAB=∠DAC=60°，
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC，∠DAB=∠DAC+∠BAC，
∴∠EAC=∠DAB，
在△AEC和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠EAC=∠BAD}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△ABD（SAS），
∴∠AEC=∠ABD，
∵∠BFC=∠BEF+∠EBF=∠AEB+∠ABE，
∴∠BFC=∠AEB+∠ABE=120°；

（2）①如圖2，以AB為邊在△ABC外作正三角形ABE，連接CE．
由（1）可知△EAC≌△BAD．
∴EC=BD．
∴EC=BD=8，
∵∠BAE=60°，∠ABC=30°，
∴∠EBC=90°．
在Rt△EBC中，EC=8，BC=6，
∴EB=$\sqrt{E{C}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{6}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴AB=BE=2$\sqrt{7}$．

②如圖2，作AH⊥BC交BC于H，過點B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，連接EA，EC．并取BE的中點K，連接AK．
∵AH⊥BC于H，
∴∠AHC=90°．
∵BE∥AH，
∴∠EBC=90°．
∵∠EBC=90°，BE=2AH，
∴EC²=EB²+BC²=4AH²+BC²．
∵K為BE的中點，BE=2AH，
∴BK=AH．
∵BK∥AH，
∴四邊形AKBH為平行四邊形．
又∵∠EBC=90°，
∴四邊形AKBH為矩形．∠ABE=∠ACD，
∴∠AKB=90°．
∴AK是BE的垂直平分線．
∴AB=AE．
∵AB=AE，AC=AD，∠ABE=∠ACD，
∴∠EAB=∠DAC，
∴∠EAB+∠EAD=∠DAC+∠EAD，
即∠EAC=∠BAD，
在△EAC與△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠EAC=∠BAD}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△BAD．
∴EC=BD=8．
在Rt△BCE中，BE=$\sqrt{E{C}^{2}-B{C}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴AH=$\frac{1}{2}$BE=$\sqrt{7}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AH=3$\sqrt{7}$．
故答案為：$2\sqrt{7}$．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質，線段垂直平分線的性質，等邊三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，勾股定理的運用．關鍵是根據已知條件構造全等三角形．