Question

8．如圖是小磊家的兩個房間甲與乙，他將一個梯子斜靠在墻上，梯子頂端距離地面的垂直距離記作MA，如果梯子的底端不動，頂端靠在對面墻上，此時梯子的頂端距離地面的垂直距離記作NB．
（1）當他在甲房間時，測得MA=a，NB=b，求甲房間的寬AB；
（2）當他在乙房間時，測得MA=c，NB=d，且∠MPA=75°，∠NPB=45°
①求∠MPN的度數；             
②求乙房間的寬AB．

Answer 1

分析 （1）證明△AMP≌△BPN，從而得到MA=PB=a，PA=NB=b，即可求出AB=PA+PB=a+b；
（2）①根據平角的定義即可求出∠MPN=60°；
②根據PM=PN以及∠MPN的度數可得到△PMN為等邊三角形．利用相應的三角函數表示出MN，MP的長，可得到房間寬AB和AM長相等．

解答 解：（1）∵∠MPN=180°，
∴∠APM+∠BPN=90°，
∵∠APM+∠AMP=90°，
∴∠AMP=∠BPN．
在△AMP與△BPN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMP=∠BPN}\\{∠MAP=∠PBN=90°}\\{MP=PN}\end{array}\right.$，
∴△AMP≌△BPN，
∴MA=PB=a，PA=NB=b，
∴AB=PA+PB=a+b；

（2）①∠MPN=180°-∠APM-∠BPN=60°；

②過N點作MA垂線，垂足點D，連接NM．
設AB=x，且AB=ND=x．
∵梯子的傾斜角∠BPN為45°，
∴△BNP為等腰直角三角形，△PNM為等邊三角形（180-45-75=60°，梯子長度相同），∠MND=15°．
∵∠APM=75°，
∴∠AMP=15°．
∴cos15°=$\frac{x}{MN}$=$\frac{MA}{MP}$．
∵△PNM為等邊三角形，
∴NM=PM．
∴x=MA=c．
即乙房間的寬AB是c．

點評 此題考查了全等三角形的應用，解直角三角形的應用，根據PM=PN以及∠MPN的度數得到△PMN為等邊三角形是解題的關鍵．