Question

18．請完成以下問題：
（1）如圖1，$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，弦AC與半徑OD平行，求證：AB是⊙O的直徑；
（2）如圖2，AB是⊙O的直徑，弦AC與半徑OD平行．已知圓的半徑為r，AC=y，CD=x，求y與x的函數關系式．

Answer 1

分析 （1）連結BC，交OD于點H，若要證明AB是⊙O的直徑，則可證明∠ACB=90°即可；
（2）連結AD，BD，連結BC交OD于點H，易證△DBH∽△DAB，由相似三角形的性質以及三角形中位線定理即可得到y與x的函數關系式．

解答 解：
（1）證明：連結BC，交OD于點H，（如圖1）
∵$\widehat{CD}=\widehat{BD}$，
∴OD⊥BC，
即∠OHB=90°，
∵弦AC與半徑OD平行，
∴∠ACB=∠OHB=90°，
∴弦AB是圓的直徑（90^°的圓周角所對的弦是直徑）；
（2）如圖2，連結AD，BD，連結BC交OD于點H，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵弦AC與半徑OD平行，
∴∠ACB=∠OHB=90°，
∴OD⊥BC，
∴$\widehat{CD}=\widehat{BD}$，
∴CD=BD=x，
∴∠DBC=∠DAB，
∴△DBH∽△DAB，
∴$\frac{DH}{DB}=\frac{DB}{AB}$，
∵O是AB的中點，
∴OH是△ABC的中位線，
∴OH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$y，
∴DH=OD-OH=r-$\frac{1}{2}$y，
即$\frac{{r-\frac{1}{2}y}}{x}=\frac{x}{2r}$，
化簡得：y=2r-$\frac{{x}^{2}}{r}$．

點評 本題考查了相似三角形的判斷和性質、圓周角定理的運用、平行線的判斷和性質以及三角形中位線定理的運用，熟記和圓有關的各種性質是解題的關鍵．