Question

13．如圖，二次函數(shù)y=ax²-6ax+4a+3 的圖象與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是x軸上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為（1，0），連接AB，tan∠ABO=2．
（1）則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），a=-$\frac{1}{4}$；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AB的垂線與該二次函數(shù)的圖象交于另一點(diǎn)C，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）連接BC，過(guò)點(diǎn)A作直線l交線段BC于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)B、點(diǎn)C到l的距離分別為d₁、d₂，求d₁+d₂的最大值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)的定義可求得OA的長(zhǎng)，則可求得OA，可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，代入二次函數(shù)解析式則可求得a的值；
（2）設(shè)直線AC交x軸于點(diǎn)D，則可求得∠DAO=∠ABO，則可求得OD的長(zhǎng)，可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AD的解析式，聯(lián)立直線AD與拋物線解析式，可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）連接AP，則S_△ABC=$\frac{1}{2}$AP•（d₁+d₂），可得到d₁+d₂=$\frac{2{S}_{△ABC}}{AP}$，可知當(dāng)AP最小時(shí)，d₁+d₂有最大值，由垂線段最短可知當(dāng)AP⊥BC時(shí)，d₁+d₂有最大值，由B、C的坐標(biāo)可求得BC、AC、AB的長(zhǎng)，利用等積法可求得此時(shí)AP的值，則可求得d₁+d₂最大值．

解答 解：
（1）∵點(diǎn)B是x軸上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為（1，0），
∴OB=1，
∵tan∠ABO=2，
∴$\frac{OA}{OB}$=2，
∴OA=2OB=2，
∴A（0，2），
∴4a+3=2，解得a=-$\frac{1}{4}$，
故答案為：（0，2）；-$\frac{1}{4}$；
（2）如圖1，設(shè)直線AC交x軸于點(diǎn)D，

∵AD⊥AB，
∴∠DAB=90°，
∴∠DAO+∠OAB=∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠DAO=∠ABO，
∴tan∠DAO=2，即$\frac{DO}{AO}$=2，
∴DO=2AO=2×2=4，
∴D（-4，0），
設(shè)直線AD解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線AD解析式為y=$\frac{1}{2}$x+2，
由（1）可得拋物線解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+2
聯(lián)立直線AD和拋物線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+2}\\{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴C（4，4）；
（3）∵A（0，2），B（1，0），C（4，4），
∴AB=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{{4}^{2}+（4-2）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=5，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×2$\sqrt{5}$=5，
連接AP，如圖2，

∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AP•（d₁+d₂），
∴d₁+d₂=$\frac{2{S}_{△ABC}}{AP}$，
∴當(dāng)AP最小時(shí)，d₁+d₂有最大值，
∴當(dāng)AP⊥BC時(shí)，d₁+d₂有最大值，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AP，
∴5=$\frac{1}{2}$×5•AP，解得AP=2，
∴d₁+d₂=$\frac{2{S}_{△ABC}}{AP}$=$\frac{2×5}{2}$=5，即d₁+d₂的最大值為5．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及三角函數(shù)的定義、待定系數(shù)法、函數(shù)圖象的交點(diǎn)、三角形的面積、勾股定理及最值問(wèn)題等知識(shí)．在（1）中利用好三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵，在（2）中求得直線AD的解析式是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出使d₁+d₂的值最大時(shí)P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．