Question

4．如圖，△ABC為一個直角三角形的空地，∠C為直角，AC邊長為3百米，BC邊長為4百米，現(xiàn)決定在空地內(nèi)筑一條筆直的路EF（寬度不計），E為BC的中點，F(xiàn)為三角形ABC邊上的一點，且EF將該空地分成一個四邊形和一個三角形，若分成的四邊形和三角形周長相等，求此時小路EF的長度．

Answer 1

分析 根據(jù)勾股定理得AB=5，由中點的性質(zhì)得BE=EC=2，①當點F在AB上時，設BF=x，則AF=5-x，根據(jù)四邊形和三角形周長相等可求得x的值，作EG⊥BF，由sinB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{3}{5}$、cosB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{4}{5}$求得BG=BEcosB=$\frac{8}{5}$、GE=BEsinB=$\frac{6}{5}$、GF=BF-BG=$\frac{12}{5}$，根據(jù)勾股定理可得EF；②當點F在AC上時，設CF=a，則AF=3-a，由四邊形和三角形周長相等可求得a的值，根據(jù)AF=3-a=-1可排除此種情況．

解答 解：∵AC=3，BC=4，∠C=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∵E為BC的中點，
∴BE=EC=2，
①如圖1，當點F在AB上時，

設BF=x，則AF=5-x，
∵BE+BF+EF=EC+AC+AF+EF，即2+x+EF=2+3+5-x+EF，
∴x=4，
過點E作EG⊥BF于點G，
∵sinB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，cosB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∴BG=BEcosB=2×$\frac{4}{5}$=$\frac{8}{5}$，GE=BEsinB=2×$\frac{3}{5}$=$\frac{6}{5}$，
∴GF=BF-BG=4-$\frac{8}{5}$=$\frac{12}{5}$，
則EF=$\sqrt{G{F}^{2}+G{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{12}{5}）^{2}+（\frac{6}{5}）^{2}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$（百米）；
②如圖2，當點F在AC上時，

設CF=a，則AF=3-a，
∵EC+CF+EF=BE+EF+AF+AB，即2+a+EF=2+EF+3-a+5，
解得：a=4，
∴此時AF=3-a=-1，不符合題意，舍去；
綜上可知，小路EF的長度為$\frac{6}{5}\sqrt{5}$百米．

點評 本題主要考查勾股定理的應用、解直角三角形等知識點，根據(jù)四邊形與三角形的周長相等分類討論并得到相關線段的長是解題的關鍵．