Question

14．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AG⊥BC于G，BD平分∠ABC，AE⊥BD于H，交BC于E，AG交BD于F，連接EF．求證：
（1）AH=EH
（2）EF=AD．

Answer 1

分析 （1）證得△ABH≌△EBH，根據全等三角形的性質即可證得結論；
（2）根據線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得AF=EF，根據等角的余角相等求出∠ADB=∠AFD，再根據等角對等邊可得AF=AD，然后等量代換即可得證．

解答 證明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABH=∠EBH，
∵AE⊥BD，
∴∠AHB=∠BHE，
在△ABH和△EBH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABH=∠EBH}\\{BH=BH}\\{∠AHB=∠BHE}\end{array}\right.$
∴△ABH≌△EBH（ASA），
∴AH=EH；
（2）∵BH為AE的垂直平分線，
∴AF=EF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD，
∵AG⊥BC，AE⊥BD，
∴∠ABD+∠ADB=90°，∠DBC+∠BFG=90°，
∴∠ADB=∠BFG，
∵∠AFD=∠BFG，
∴∠ADB=∠AFD，
∴AF=AD，
又∵AF=EF，
∴AD=EF．

點評 本題考查了角平分線上的性質，線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質，等角對等邊的性質，熟記各性質并準確識圖是解題的關鍵．