Question

5．如圖，在矩形ABCD中，∠CAB=30°，BC=4$\sqrt{3}$cm，將△ABC沿AC邊翻折，使點(diǎn)B到點(diǎn)B′，AB′與DC相交于點(diǎn)O．
（1）求證：△ADO∽△ABC；
（2）點(diǎn)P（不與點(diǎn)A重合）是線段AB′上一動(dòng)點(diǎn)，沿射線AB′的方向以2cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)你求出△APC的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）中，以AP、B′P、BC的長(zhǎng)為邊能否構(gòu)成直角三角形？若能，求出點(diǎn)P的位置；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）先判斷出∠DAO=∠BAC即可得出結(jié)論；
（2）先表示出AP，用三角形的面積公式直接得出結(jié)論；
（3）先表示出AP，B'P，分三種情況用勾股定理建立方程求解即可．

解答 解：（1）在矩形ABCD中，∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，
∵∠CAB=30°，
∴∠CAD=60°，
由折疊得，∠B'AC=∠CAB=30°，
∴∠DAO=∠CAD-∠B'AC=30°=∠BAC，
∵∠ADO=∠ABC=90°，
∴△ADO∽△ABC；

（2）如圖，連接PC，
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=4$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{3}$BC=12，
由折疊知AB'=AB=12，
由運(yùn)動(dòng)知，AP=2t，
由折疊得，B'C=BC=4$\sqrt{3}$cm，
∴S=S_△APC=$\frac{1}{2}$AP•B'C=$\frac{1}{2}$×2t×4$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$t（0＜t≤6）；

（3）能構(gòu)成直角三角形，
由運(yùn)動(dòng)知，AP=2t，B'P=AB'-AP=12-2t，
∵以AP、B′P、BC的長(zhǎng)為邊構(gòu)成直角三角形，
∴①AP²+B'P²=BC²，
∴（2t）²+（12-2t）²=48，
∴此方程無解；
②AP²+BC²=B'P²，
∴（2t）²+48=（12-2t）²，
∴t=2，
∴AP=2t=4cm，此時(shí)，點(diǎn)P在AB'上距點(diǎn)A4cm處
③B'P²+BC²=AP²，（12-2t）²+48=（2t）²，
∴t=4，
∴AP=2t=8cm，此時(shí)，點(diǎn)P在AB'上，距點(diǎn)A8cm處．
即：點(diǎn)p距點(diǎn)A是4cm和8cm處時(shí)，以AP、B′P、BC的長(zhǎng)為邊構(gòu)成直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，折疊的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積公式，解（1）的關(guān)鍵是判斷出∠DAO=∠BAC，解（3）的關(guān)鍵是關(guān)鍵勾股定理建立方程．