Question

17．若規(guī)定f（x）是正整數(shù)x所唯一對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)，且對(duì)于任意的正整數(shù)a、b都有f（a+b）=f（a）•f（b），如f（5）=f（3+2）=f（3）•f（2），現(xiàn)已知f（1）=$\sqrt{2}$．給出下列結(jié)論：
①f（2）=2．
②若a＞b，則必有f（a）＞f（b）．
③當(dāng)a＞b時(shí)，存在符合條件的a、b，使得2f（a）=f（a-b）+f（a+b）成立．
④當(dāng)a＞b時(shí)，必有f（2a）=f（a-b）•f（a+b）成立．
其中正確的結(jié)論是①②④（寫出你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號(hào)）．

Answer 1

分析 ①把2根據(jù)規(guī)定運(yùn)算寫成1+1代入即可得出結(jié)論正確；
②由于a＞b，設(shè)a=b+n（n為整數(shù)）代入規(guī)定化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論正確；
③根據(jù)規(guī)定f（a-b）+f（a+b）=0，再判斷出f（a）≥$\sqrt{2}$，即可得出結(jié)論不正確；
④將f（a-b）•f（a+b）根據(jù)規(guī)定化簡(jiǎn)得出右邊，即可判斷出結(jié)論正確．

解答 解：①f（2）=f（1+1）=f（1）•f（1）=$\sqrt{2}×\sqrt{2}$=2，
∴①正確；
②設(shè)a=b+n，n為正整數(shù)，
∴f（a）=f（b）+f（n）=f（b）+nf（1）=f（b）+$\sqrt{2}$n＞f（b），
∴②正確；
③∵f（a-b）+f（a+b）=-f（a）•f（b）+f（a）•f（b）=0，
由②知f（a）≥f（1），
∵f（1）=$\sqrt{2}$，
∴f（a）≥$\sqrt{2}$≠0，
∴③不正確；
④∵f（a-b）•f（a+b）=f（a-b+a+b）=f（2a），
∴④正確；
∴正確的有①②④
故答案為①②④．

點(diǎn)評(píng) 此題是實(shí)數(shù)運(yùn)算，主要考查了學(xué)生的理解規(guī)定和運(yùn)用規(guī)定的能力，是一道簡(jiǎn)單的新定義題目．