Question

15．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC上的一點O為圓心OA為半徑作⊙O，若⊙O與邊BC始終有交點（包括B、C兩點），則線段AO的取值范圍是$\sqrt{3}≤OA≤\frac{4}{3}\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先根據(jù)題意畫出圖形，然后解直角三角形求得AC的長，然后分兩種情況討論即可求得答案．

解答 解：當(dāng)⊙O經(jīng)過點C時，則AC是直徑，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，
∴AC=cos30°•AB=2$\sqrt{3}$，
∴OA=$\sqrt{3}$，
當(dāng)圓O經(jīng)過B點時，如圖，
作OD⊥AB于點D，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵∠A=30°，
∴cos∠A=$\frac{AD}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OA=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
∴⊙O與邊BC始終有交點（包括B、C兩點），則線段AO的取值范圍是$\sqrt{3}≤OA≤\frac{4}{3}\sqrt{3}$，
故答案為$\sqrt{3}≤OA≤\frac{4}{3}\sqrt{3}$．

點評 此題考查了直線與圓的位置關(guān)系以及解直角三角形．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．