Question

11．高速公路上，在連續一段較長的下坡路段后，需要設計一段上坡的沙石上坡避險車道以保證剎車失靈的汽車能在避險車道上安全停下．如圖，某高速公路有一段長9750m的連續長下坡AB，最壞的情況是某車在A處剎車失靈，此時它的速度為25m/s（因為該路段汽車限速90km/h，即25m/s），該車在AB路段的發動機阻力限速，其車速平均每秒還是增加$\frac{1}{20}$m/s．

（1）求該卡車在下坡路段AB滑行t s時的速度v；
（2）求該卡車滑行到B處時的速度v_B是多少？
（3）如果該卡車在避險車道上速度平均每秒減少20m/s．
①設該卡車在避險車道上的行駛路程為y m，行駛時間為x s，求y與x之間的函數關系式；
②該卡車在避險車道上滑行了多長距離才能停下？

Answer 1

分析 （1）根據“末速度=初速度+加速度×時間”可得；
（2）分別表示出滑行ts的平均速度為$\frac{25+（25+\frac{1}{20}t）}{2}$=25+$\frac{1}{40}$t、路程為y=25t+$\frac{1}{40}$t²，根據AB的長為9750m列出方程求得t的值，繼而代入v=25+$\frac{1}{40}$t可得答案；
（3）①先求得平均速度為$\frac{40+（40-20x）}{2}$=40-10x，再根據“路程=速度×時間”可得答案；
②將①中函數解析式配方，求得函數的最值即可得．

解答 解：（1）卡車在下坡路段AB滑行t s時的速度v=25+$\frac{1}{20}$t=25+$\frac{1}{20}$t（m/s）；

（2）滑行ts的平均速度為$\frac{25+（25+\frac{1}{20}t）}{2}$=25+$\frac{1}{40}$t，路程為y=25t+$\frac{1}{40}$t²，
∵AB的長為9750m，
∴25t+$\frac{1}{40}$t²=9750，即t²+1000t-390000=0，
解得：t=300或t=-1300（舍），
∴v_B=25+$\frac{1}{20}$×300=40（m/s），
答：卡車滑行到B處時的速度v_B是40m/s；

（3）①設該卡車在避險車道上的行駛路程為y m，行駛時間為x s，
∵卡車的平均速度為$\frac{40+（40-20x）}{2}$=40-10x，
∴y=（40-10x）x=-10x²+40x；
②∵y=-10x²+40x=-10（x-2）²+40，
∴當x=2時，卡車行駛的路程y取得最大值40m，
答：該卡車在避險車道上滑行了40m才能停下．

點評 本題主要考查二次函數的應用，熟練掌握行程問題中的相等關系及末速度=初速度+加速度×時間、函數的性質是解題的關鍵．