Question

16．已知E為正△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)．求證：以AE、BE、CE為邊可以構(gòu)成一個(gè)三角形．若∠BEC=113°，∠AEC=123°，求構(gòu)成三角形的各角度數(shù)．

Answer 1

分析 ①通過旋轉(zhuǎn)作輔助三角形ADC，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：BE=DC，AE=AD，∠EAD=∠BAC=60，可得等邊三角形AED，由此可得△CDE即所構(gòu)三角形；
②先根據(jù)周角的定義求∠AEB的度數(shù)，再由全等得：∠ADC=∠AEB=124°，利用等邊三角形每個(gè)角都是60°分別計(jì)算所構(gòu)成的三角形各角的度數(shù)即可．

解答 證明：①∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=CA；∠ACB=60°，
∴將△BEC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，至△ACD，BC與AC重合，連接ED，
∴△ADC≌△AEB，
∴AD=AE，BE=CD，∠EAD=60°，
∴△AED是等邊三角形，
∴ED=AE，
∴以AE、BE、CE為邊可以構(gòu)成一個(gè)三角形，△CDE即所構(gòu)三角形；
②∵∠BEC=113°，∠AEC=123°，
∴∠AEB=360°-113°-123°=360°-236°=124°，
由△ADC≌△AEB得：∠ADC=AEB=124°，
∴∠EDC=124°-60°=64°，
∠DEC=123°-60°=63°，
∴∠ECD=180°-64°-63°=53°，
∴構(gòu)成三角形的各角度數(shù)分別為：63°、53°、64°．

點(diǎn)評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)，明確旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)三角形是全等形，并熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和判定．