Question

6．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的切線，切點(diǎn)為C，BE⊥CD，垂足為E，連接AC、BC．
（1）求證：BC平分∠ABE；
（2）若∠A=60°OA=4，求CE的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線的性質(zhì)得OC⊥DE，則可判斷OC∥BE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠OCB=∠CBE，加上∠OCB=∠CBO，所以∠OBC=∠CBE，
（2）利用圓周角定理得到∠ACB=90°，再根據(jù)正弦的定義可計(jì)算出BC=4$\sqrt{3}$，然后在Rt△CBE中可得到CE=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{3}$．

解答 （1）證明：∵CD是⊙O的切線，
∴OC⊥DE，
而BE⊥DE，
∴OC∥BE，
∴∠OCB=∠CBE，
而OB=OC，
∴∠OCB=∠CBO，
∴∠OBC=∠CBE，
即BC平分∠ABE；

（2）解：∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∵sinA=$\frac{BC}{AB}$，
∴BC=8sin60°=4$\sqrt{3}$，
∵∠OBC=∠CBE=30°，
在Rt△CBE中，CE=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了解直角三角形．