Question

3．如圖，已知在△ABC中，∠CAE=∠B，點E是CD的中點，若AD平分∠BAE．
（1）求證：AC=BD；
（2）若BD=3，AD=5，AE=x，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）延長AE到F，使EF=EA，連接DF，得到△DEF≌△CEA，根據全等三角形的性質得到AC=FD，根據等腰三角形的性質得到∠AFD=∠CAE，推出△ABD≌△AFD，根據全等三角形的性質即可得到結論；
（2）根據全等三角形的性質得到AB=AF，根據三角形的三邊關系列不等式組即可得到結論．

解答 （1）證明：延長AE到F，使EF=EA，連接DF，
∵點E是CD的中點，
∴EC=ED，
在△DEF與△CEA中，$\left\{\begin{array}{l}{EF=EA}\\{∠DEF=∠CEA}\\{ED=EC}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△CEA，
∴AC=FD，
∴∠AFD=∠CAE，
∵∠CAE=∠B，
∴∠AFD=∠B，
∵AD平分∠BAE，
∴∠BAD=∠FAD，
在△ABD與△AFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠FAD}\\{AD=AD}\\{∠B=∠AFD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AFD，
∴BD=FD，
∴AC=BD；

（2）解：由（1）證得△ABD≌△AFD，△DEF≌△CEA，
∴AB=AF，
∵AE=x，
∴AF=2AE=2x，
∴AB=2x，
∵BD=3，AD=5，
∴在△ABD中，$\left\{\begin{array}{l}{3+5＞2x}\\{3+2x＞5}\\{5+2x＞3}\end{array}\right.$，
解得：1＜x＜4，
∴x的取值范圍是1＜x＜4．

點評 本題考查了全等三角形的判斷和性質，角平分線的定義，線段中點的定義，正確的作出輔助線是解題的關鍵．