Question

10．如圖，四邊形OABC為平行四邊形，B、C在⊙O上，A在⊙O外，sin∠OCB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求證：AB與⊙O相切；
（2）若BC=10cm，求⊙O的半徑長及圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）由特殊三角函數值sin∠OCB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求得∠OCB=45°，根據同圓的半徑相等得：OB=OC，利用等邊對等角得：∠OCB=∠OBC=45°，所以∠BOC=90°，最后由平行四邊形的對邊平行和平行線性質得：
∠BOC=∠ABO=90°，AB與⊙O相切；
（2）根據勾股定理求⊙O的半徑長，再利用差求陰影部分的面積．

解答 （1）證明：連接OB，
∵sin∠OCB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠OCB=45°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠BOC=90°，
∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴AB∥OC，
∴∠BOC=∠ABO=90°，
∵B在⊙O上，
∴AB與⊙O相切；
解：（2）設⊙O的半徑為r，則OB=OC=r，
在Rt△OBC中，r²+r²=10²，
∴r=5$\sqrt{2}$，
∴S_陰影部分=S_扇形OBC-S_△OBC=$\frac{90π×（5\sqrt{2}）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×$（5\sqrt{2}）^{2}$=$\frac{25}{2}$π-25，
答：⊙O的半徑長5$\sqrt{2}$，陰影部分的面積為$\frac{25}{2}π-25$．

點評 本題考查了切線的判定、平行四邊形的性質、三角函數值、扇形的面積；明確兩種證明切線的方法：①無交點，作垂線段，證半徑；②有交點，作半徑，證垂線；熟記扇形的面積公式，并掌握特殊的三角函數值．