Question

4．如圖，在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB=90°，點C是弧$\widehat{AB}$上的一個動點（不與點A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D、E．
（1）當BC=1時，求線段OD的長；
（2）在△DOE中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖（1），根據垂徑定理可得BD=$\frac{1}{2}$BC，然后只需運用勾股定理即可求出線段OD的長；
（2）連接AB，如圖（2），用勾股定理可求出AB的長，根據垂徑定理可得D和E分別是線段BC和AC的中點，根據三角形中位線定理就可得到DE=$\frac{1}{2}$AB，DE保持不變．

解答 解：（1）如圖（1），

∵OD⊥BC，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{2}$，
∵∠BDO=90°，OB=2，BD=$\frac{1}{2}$，
∴OD=$\sqrt{O{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
即線段OD的長為$\frac{\sqrt{15}}{2}$．

（2）存在，DE保持不變．
理由：連接AB，如圖（2），

∵∠AOB=90°，OA=OB=2，
∴AB=2$\sqrt{2}$，
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴D和E分別是線段BC和AC的中點，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$，
∴DE保持不變．

點評 本題考查了垂徑定理、三角形中位線定理、等腰三角形的性質、三角函數、勾股定理等知識，運用垂徑定理及三角形中位線定理是解決第（2）小題的關鍵．