Question

9．△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F為BC延長線上一點，FG⊥AE交AD的延長線于G，AC的延長線交FG于H，連接BG，下列結論：
①∠DAE=∠F；
②∠AGH=∠BAE+∠ACB；
③S_△AEB：S_△AEC=AB：CA；
④∠ABC+∠ACB=2∠AHG，
其中正確的結論有（　　）個．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 如圖，①根據三角形的內角和即刻得到∠DAE=∠F；故①正確；②根據三角形的內角和和外角的性質即刻得到∠AGH=∠BAE+∠ACB；故②正確；③根據三角形角平分線定理得到$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CE}$，根據三角形的面積公式即刻得到S_△AEB：S_△AEC=AB：CA；故③正確；④根據三角形的內角和即刻得到∠ABC+∠ACB=2∠AHG；故④正確．

解答 解：如圖，①∵AD⊥BC，FG⊥AE，
∴∠ADE=∠AMF=90°，
∵∠AED=∠MEF，
∴∠DAE=∠F；故①正確；
②∵∠DAE=∠F，∠FDG=∠FME=90°，
∴∠AGH=∠MEF，
∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴∠BAE=∠CAE，
∵∠MEF=∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH=∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH=∠BAE+∠ACB；故②正確；
③∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CE}$，
∵S_△AEB：S_△AEC=$\frac{\frac{1}{2}BE•AD}{\frac{1}{2}CE•AD}$=$\frac{BE}{CE}$，
∴S_△AEB：S_△AEC=AB：CA；故③正確；
④∵∠AMH=90°，
∴∠AHG=90°-∠CAE=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB，
∴∠AHG=90°-$\frac{1}{2}$（180°-∠ABC-∠ACB）=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
即∠ABC+∠ACB=2∠AHG；故④正確．
故選D．

點評 本題考查了角平分線的定義，三角形角平分線定理，直角三角形的性質，三角形的面積公式，正確的識別圖形是解題的關鍵．