Question

7．△ABC是等腰直角三角形，其中∠C=90°，AC=BC，D是BC上任意一點（點D與點B、C都不重合），連接AD，CF⊥AD，交AD于點E，交AB于點F，BG⊥BC交CF的延長線于點G．
（1）依題意補全圖形，并寫出與BG相等的線段；
（2）當點D為線段BC中點時，連接DF，求證：∠BDF=∠CDE；
（3）當點C和點F關于直線AD成軸對稱時，直接寫出線段CE、DE、AD三者之間的數量關系．

Answer 1

分析 （1）如圖1，根據ASA證明△CBG≌△ACD，得BG=DC；
（2）如圖2，由（1）得：△CBG≌△ACD，得∠CDE=∠G，再證明△BDF≌△BGF得出結論；
（3）如圖3，作輔助線，分別證明△ACD≌△AFD和△ACN≌△CBF，得DN=2DE，AN=CF=2CE，可以得出結論．

解答 解：（1）BG=DC，理由是：
如圖1，∵∠ACB=90°，
∴∠BCG+∠GCA=90°，
∵CF⊥AD，
∴∠CEA=90°，
∴∠GCA+∠CAD=90°，
∴∠BCG=∠CAD，
∵∠ACB=∠CBG=90°，AC=BC，
∴△CBG≌△ACD（ASA），
∴BG=DC；
（2）如圖2，由（1）得：△CBG≌△ACD，
∴∠CDE=∠G，
∵D是BC的中點，
∴BD=DC，
∵BG=DC，
∴BG=BD，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CBA=45°，
∵∠CBG=90°，
∴∠GBA=45°，
∴∠GBA=∠CBA=45°，
∵BF=BF，
∴△BDF≌△BGF（SAS），
∴∠BDF=∠G，
∴∠BDF=∠CDE；
（3）AD=2DE+2CE，理由是：
如圖3，過C作CM⊥AB于M，交AD于N，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BCM=∠ACM=45°，
∵點C和點F關于直線AD成軸對稱，
∴AD是CF的中垂線，
∴CE=EF，CD=DF，AC=AF，
∵AD=AD，
∴△ACD≌△AFD，
∴∠DFA=∠ACB=90°，
∵∠CBA=45°，
∴△DBF是等腰直角三角形，
∴BF=DF，
∴BF=DF=CD，
∵AC=AF，∠BAC=45°，
∴∠ACF=∠CFA=67.5°，∠CAE=∠FAE=22.5°，
∴∠BCG=90°-67.5°=22.5°，
∴∠ECN=45°-22.5°=22.5°，
∴∠ECN=∠BCG，
∴△DCE≌△NCE，
∴DC=CN，DE=EN，
∴CN=BF，
∵∠CAD=∠BCG=22.5°，
∵AC=BC，
∴△ACN≌△CBF，
∴CF=AN=2CE，
∴AD=DE+EN+AN=2DE+CF=2DE+2CE．

點評 本題是三角形的綜合題，難度適中，考查了等腰直角三角形的性質、全等三角形的性質和判定，根據全等三角形的對應邊相等和對應角相等解決問題，對于線段的和的問題，也是利用全等三角形將邊平移到同一條直線上，得也相應的關系．