Question

20．利用圖形來表示數量或數量關系，也可以利用數量或數量關系來描述圖形特征或圖形之間的關系，這種思想方法稱為數形結合．你能利用數形結合的思想解決下列問題嗎？
（1）如圖①，一個邊長為1的正方形，依次取正方形面積的$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{8}$、…、$\frac{1}{{2}^{n}}$，根據圖示我們可以知道：$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．（用含有n的式子表示）
（2）如圖②，一個邊長為1的正方形，依次取剩余部分的$\frac{2}{3}$，根據圖示：
計算：$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{9}$+$\frac{2}{27}$+…+$\frac{2}{{3}^{n}}$=1-$\frac{1}{{3}^{n}}$．（用含有n的式子表示）
（3）如圖③是一個邊長為1的正方形，根據圖示：
計算：$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{9}$+$\frac{4}{27}$+$\frac{8}{81}$+…+$\frac{{2}^{n-1}}{{3}^{n}}$=1-$\frac{{2}^{n}}{{3}^{n}}$．（用含有n的式子表示）

Answer 1

分析 （1）根據題意找出規律進行計算即可；
（2）根據題干給出圖形，依次取正方形面積的$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{9}$，$\frac{2}{27}$…找出規律即可；
（3）根據題干給出圖形，依次取正方形面積的$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{9}$，$\frac{4}{27}$…找出規律即可．

解答 解：（1）$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
（2）$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{9}$+$\frac{2}{27}$+…+$\frac{2}{{3}^{n}}$=1-$\frac{1}{{3}^{n-1}}$×（1-$\frac{2}{3}$）=1-$\frac{1}{{3}^{n}}$．
（3）$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{9}$+$\frac{4}{27}$+$\frac{8}{81}$+…+$\frac{{2}^{n-1}}{{3}^{n}}$=1-$\frac{{2}^{n}}{{3}^{n}}$．
故答案為：1-$\frac{1}{{2}^{n}}$；1-$\frac{1}{{3}^{n}}$；1-$\frac{{2}^{n}}{{3}^{n}}$．

點評 本題考查的圖形的變化類，根據題干給出的圖形，利用數形結合求解是解答此題的關鍵．